Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x
（1）求f（-1）的值；
（2）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的定義知，計算f（-1）=-f（1）；
（2）由x＜0得-x＞0，計算f（-x），再由奇函數f（-x）=-f（x），得f（x）即x＜0時f（x）；
（3）函數f（x）的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸是x=1，討論區間[t，t+2]在對稱軸的右側，還是包含對稱軸？從而求得f（x）_min．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴f（-1）=-f（1）=-（1²-2×1）=1；
（2）當x＜0時，有-x＞0，∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=-x²-2x，即x＜0，f（x）=-x²-2x；
（3）∵x＞0時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴（i）當t≥1時，x∈[t，t+2]上是增函數，∴f（x）_min=f（t）=t²-2t；
  （ii）當0＜t＜1時，f（x）在[t，1]上是減函數，在[1，t+2]上是增函數，∴f（x）_min=f（1）=1²-2×1=-1；
綜上所知，當x∈[t，t+2]（t＞0）時，f（x）_min=

t2-2t   (t≥1) -1           (0＜t＜1)

．

點評：本題考查了函數的奇偶性與二次函數在閉區間上的最值問題，解題時通常根據圖象，判定區間與對稱軸的位置，做出正確解答．