Question

定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：
①對任意x，y∈（-1，1），都有；
②當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）＞0．求證：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴，
∴，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
∴-f（）==，①
，②
…
③
將上式①②…③n個式子累加有

=
=f（n+2）-f（2）=，
又f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
∴，
∴
分析：（1）令x=y=0，代入條件關(guān)系即可；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，然后構(gòu)造f（x₁）-f（x₂），進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，進行判斷即可；
（3）令y=-x，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，可利用f（x）為奇函數(shù)，將要證，轉(zhuǎn)化為：也就是去證明，即證明；而=f（n+2）-f（n+1），利用累加法，結(jié)合函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)即可證明結(jié)論成立．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，關(guān)鍵在于判斷函數(shù)為奇函數(shù)后，靈活應(yīng)用“對任意x，y∈（-1，1），都有”判斷函數(shù)的單調(diào)性．屬于難題．