Question

已知函數f（x），（x∈R⁺），滿足f（3x）=3f（x）．若f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），試計算：
（1）f（99）=

 

；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

考點：函數的值,集合的表示法,抽象函數及其應用

專題：計算題

分析：（1）由f（3x）=3f（x）將f（99）遞推下去，代入解析式求值；
（2）根據題意，求出當3≤x≤9時的表達式，同理求出當9≤x≤27時、當27≤x≤81時和當81≤x≤243時的表達式，然后解方程f（x）=18，即可得到集合M中最小的元素．

解答： 解：（1）根據題意：f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），
所以f（99）=3f（33）=3²f（11）=3³f（

11

3

）=3⁴f（

11

9

）=3⁴（1-|

11

9

-2|）=18；
（2）由題意得，當3≤x≤9時，f（x）=3f（

x

3

）=3-|x-6|；
當9≤x≤27時，f（

x

3

）=3-|3•

x

3

-6|=3-|x-6|，此時f（x）=3f（

x

3

）=9-|3x-18|； 
當27≤x≤81時，f（

x

3

）=9-|3•

x

3

-18|=9-|x-18|，此時f（x）=3f（

x

3

）=27-|3x-54|； 
當81≤x≤243時，f（

x

3

）=27-|3•

x

3

-54|=27-|x-54|，此時f（x）=3f（

x

3

）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=18，
接下來解方程f（x）=18：
當81≤x≤243時，81-|3x-162|=18，得3x-162=±63，所以x=75或33（舍去）；
當27≤x≤81時，27-|3x-54|=18，得3x-54=±81，所以x=45（舍負）；
當9≤x≤27時，9-|3x-18|=18，找不到符合條件的x；
當3≤x≤9時，3-|3x-6|=18，找不到符合條件的x；
當1≤x≤3時，1-|x-2|=18，找不到符合條件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45，
故答案為：（1）18；（2）45．

點評：本題是分段函數問題，要嚴格按照題目要求轉化為已知的問題去解決，考查討論方程的最小正數解，函數的定義和方程根的分布等知識．