Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓的離心率為且經過點．M為橢圓上的動點，以M為圓心，M為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴a=2c，
∴b²=a²﹣c²=3c²
∴橢圓的標準方程可設為：
又∵過點，
∴
∴c=1
∴橢圓的標準方程為：
（2）設M（，）則半徑，圓心到y軸的距離d=||
若圓M與y軸有兩個交點，則有r＞d，即有，
化簡得，
∵M在橢圓上，
∴，代入上不等式得
解得：，
∵﹣2≤≤2，
∴
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點，
由橢圓的定義知，|M|+|M|=2a=4
∴|M|=4﹣|M|
∴兩圓相內切．