Question

如圖，把橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、P₇七個點，F是橢圓的一個焦點，則|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=

35

．

Answer 1

分析：根據橢圓的定義與橢圓的對稱性，證出|P₁F|+|P₇F|=|P₂F|+|P₆F|=|P₃F|+|P₅F|=2a，結合|P₄F|=

c2+b2

=a和題中的數據，可得答案．

解答：解：將橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓
的上半部分于P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、P₇七個點，
F是橢圓的一個焦點，設橢圓的另一個焦點為F'，
根據橢圓的對稱性，得|P₁F|+|P₇F|=|P₁F|+|P₁F'|=2a=10
同理可得：|P₂F|+|P₆F|=2a=10且|P₃F|+|P₅F|=2a=10
又∵|P₄F|=

c2+b2

=a=5
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=7a=35，
故答案為：35

點評：本題著重考查了橢圓的標準方程、橢圓的定義與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．巧妙運用橢圓的對稱性，是解決本題的關鍵所在．