Question

下列說法正確的是    ．（填入所有正確序號）
①若（1-x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，則a₂+a₄+a₆=64；
②（1-x）⁷展開式中系數最小項是第5項；
③若令x=100，則（1-x）⁷被1000除，余數是301；
④（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）⁷的展開式中含x⁵項的系數是-28．

Answer 1

【答案】分析：對于①，分別令x=0，求a，令x=1，求a+a₁+a₂+…+a₇，令x=-1，求a-a₁+a₂+…-a₇，從而求得a₂+a₄+a₆=63；
②（1-x）⁷展開式中奇數項系數為負，偶數項為正，故可判斷；
③若令x=100，利用（1-x）⁷的展開式，再確定被1000除，余數是301，故可判斷；
④（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）⁷的展開式中含x⁵項為-C₅⁵x⁵-C₆⁵x⁵-C₇⁵x⁵=-28x⁵，故可判斷
解答：解：對于①，令x=0，則a=1，令x=1，則a+a₁+a₂+…+a₇=0，令x=-1，則a-a₁+a₂+…-a₇=2⁷，∴a₂+a₄+a₆=63，故錯誤；
②（1-x）⁷展開式中奇數項系數為負，偶數項為正，故錯誤；
③若令x=100，則（1-x）⁷=C₇+C₇¹×100+C₇²×10000+…+C₇⁷×100⁷被1000除，余數是301，故正確；
④（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）⁷的展開式中含x⁵項為-C₅⁵x⁵-C₆⁵x⁵-C₇⁵x⁵=-28，故正確．
故答案為③④
點評：本題主要課程二項式定理的運用，課程賦值法求二項式系數和問題，考查整除性問題，綜合性較強．