Question

【題目】一個函數，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長、、都在的定義域內，就有、、也是某個三角形的三邊長，則稱為“保三角形函數”.

（1）若是定義在上的周期函數，且值域為，證明：不是保三角形函數；

（2）若是保三角形函數，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（l）設為函數的一個周期.因為其值域為，所以，存在，使得，.

取正整數，可知、、這三個數可作為一個三角形的三邊長.但，，不能作為任何一個三角形的三邊長.故不是保三角形函數.

（2）的最大值為.

一方面，若，下證：不是保三角形函數.

取、、.顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長.但、、不能作為任何一個三角形的三邊長.故不是保三角形函數.

另一方面，證明：當時，是保三角形函數.

對任意三角形的三邊、、，若、、，則分兩種情況討論：

（i）.此時，.

同理，，.

所以，、、.

故、、.

因此、、可作為某三角形的三邊長.

（ii）.此時，，則或.

若，由于，則.

因為在單調遞增，所以，.

若，則.

同樣可得.

總之，.

又由及余弦函數在上單調遞減得.

故 .

同理，，.

因此，、、也是某三角形的三邊長.

綜上所述，當時，是保三角形函數.

故的最大值為.