Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓的一個頂點為，右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過作兩條互相垂直的直線，且交橢圓于、兩點，交橢圓于、兩點，求四邊形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意布列關于a，b的方程組，解之即可；

(2)討論直線的斜率，聯立方程利用韋達定理表示弦長，進而得到四邊形的面積，借助對勾函數的圖像與性質即可得到結果.

（1）依題意，設橢圓的方程為：

則，

設，由右焦點到直線的距離為，可得，

解得或（舍去）.

所以，.

故橢圓的方程為：.

（2）①當直線的斜率不存在時，此時的斜率為0，此時，

，則四邊形的面積.

②當直線的斜率為0，此時的斜率不存在，同理可得四邊形的面積.

③當直線的斜率存在，且斜率時，，則，將直線的方程代入橢圓方程中，并化簡整理得，

可知，

設、，則有

則

同理可得

則的面積.

令，則

，

令，則有，則.

綜上，.