Question

15．已知點A是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0）右支上一點，F是右焦點，若△AOF（O是坐標原點）是等邊三角形，則該雙曲線離心率e為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用已知條件求出A坐標，代入雙曲線方程，可得a、b、c，關系，然后求解離心率即可．

解答 解：依題意及三角函數定義，點A（ccos$\frac{π}{3}$，csin$\frac{π}{3}$），即A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
可得  b²c²-3a²c²=4a²b²，又c²=a²+b²，得e²=4+2$\sqrt{3}$，e=$\sqrt{3}+1$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．