Question

12．如圖，在四凌錐中P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥平面PAD，從而AB⊥PD，再由PA⊥AD，能證明PD⊥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中點O，連結PO，CO，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因為平面PAD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
所以AB⊥PD．
又因為PA⊥AD，所以PD⊥平面PAB．…5分
解：（Ⅱ）取AD的中點O，連結PO，CO，
因為PA=PD，所以PO⊥AD．
又因為PO?平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO．
因為AC=CD，所以CO⊥AD．
如圖建立空間直角坐標系．由題意得：
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．
$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
設平面的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2）．
設線PB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線與平面所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…12分

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．