Question

【題目】如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側棱與底面所成的角的正切值為．

（1）求側面與底面所成的二面角的大小；

（2）若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；

（3）問在棱上是否存在一點，使⊥側面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點為的四等分點.

【解析】

（1）取中點，設面，連，則為二面角的平面角，

利用解直角三角形可求其正切值．

（2）連，則為異面直線與所成的角，根據勾股定理求得，進而求得后可求的值．

（3）可證點為的四等分點．

（1）取中點，設面，連，

則為二面角的平面角，

為側棱與底面所成的角，，

設，，，

∴．

（2）連，為異面直線與所成的角．

因為，，所以平面.

平面，所以.

∵,

∴。

（3）延長交于，取中點，連、．

因為，，，

故平面，因平面，

故平面平面，

又，故為等邊三角形，

所以，由平面，故

因為，所以平面.

取的中點，∵，∴，

∴四邊形為平行四邊形，所以

∴平面．即為四等分點