Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點，求異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值．

Answer 1

證明：連接A₁C₁、C₁F、EF，
∵正方形AA₁B₁B中，E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點，
∴A₁B₁∥EF且A₁B₁=EF
∵A₁B₁∥C₁D₁且A₁B₁=C₁D₁，
∴EF∥C₁D₁且EF=C₁D₁，可得四邊形C₁D₁FE是平行四邊形
因此，D₁E∥C₁F，
∴∠A₁FC₁（或其補角）就是異面直線A₁F與D₁E所成角
設正方體棱長為2，則△A₁FC₁中，A₁F=C₁F=，A₁C₁=2
由余弦之理，得cos∠A₁FC₁==＞0
∴∠A₁FC₁是銳角，可得異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值為．
分析：連接A₁C₁、C₁F、EF，利用正方體的性質證出四邊形C₁D₁FE是平行四邊形，可得D₁E∥C₁F，所以∠A₁FC₁（或其補角）是異面直線A₁F與D₁E所成角．再正方體棱長為2，在△A₁FC₁中，算出A₁F、C₁F、A₁C₁的長度，利用余弦定理算出cos∠A₁FC₁的值，即可得到異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值．
點評：本題在正方體中求異面直線所成的角，著重考查了正方體的性質和異面直線所成角的定義及求法等知識，屬于基礎題．