Question

在平面直角坐標系中，定義

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

（n為正整數）為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換，將之稱為點變換，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n+1（x_n+1，y_n+1）…是經過點變換得到的一列點，并記a_n為點P_n與P_n+1間的距離，若數列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n為

( 2 )n-1

2 -1

．

Answer 1

分析：由題設可求P₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可尋求a_n與a_n-1的關系，可得數列為等比數列，利用等比數列的求和公式，即可得到結論．

解答：解：由題設知P₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且當n≥2時，a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
    a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

得 

xn=yn-1-xn-1 yn=yn-1+xn-1

，
∴

xn-1= yn-xn 2 yn-1= yn+xn 2

代入①計算化簡得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（

3xn-yn

2

）2+（

yn-xn

2

）2=

1

2

（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=

1

2

a_n²．
∴

an

an-1

=

2

（n≥2），
∴數列{a_n}是以

2

為公比的等比數列，且首項a₁=1，
∴a_n=

2

^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

( 2 )n-1

2 -1

故答案為：

( 2 )n-1

2 -1

點評：本題是新定義類型，實際上考查了等比數列的判定與求和，考查推理、論證、計算能力．探求數列{a_n}的性質并利用得出的性質成為一種需求與自然．