Question

已知正項等比數列{a_n}滿足a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，若存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁則

n+4m

nm

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等比數列的通項公式,基本不等式

專題：

分析：根據題意和等比數列的通項公式求出q，代入

aman

=4a₁利用指數的運算化簡得m+n=6，利用1的代換化簡要求的式子，由基本不等式可求出最小值．

解答： 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，
∵a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，∴q²=2+q，
解得q=2或q=-1（舍去），
∵存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=4a₁，化簡得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，∴m+n=6，
則

n+4m

nm

=

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）
=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
當且僅當

n

m

=

4m

n

時取等號，
∴最小值是

3

2

，
故答案為：

3

2

點評：本題考查等比數列的通項公式，涉及基本不等式求最小值以及1的代換，屬基礎題．