Question

已知函數f（x）=ax²+bx-2
（1）若f（x）＜0得解集為(-

1

3

，2)，求a，b的值；
（2）若b=3a-2，且函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）設a＞0，P=

1

2

[f(x1)+f(x2)]，Q=f(

x1+x2

2

)，試比較P與Q的大小．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由已知得a＞0，且-

1

3

，2是f（x）=0的兩根，再由韋達定理，即可得到a，b；
（2）由條件得a＞0，且-

b

2a

≤1，再解不等式，即可得到a的范圍；
（3）求出P，Q，作差化簡整理，配方，即可比較P，Q的大小．

解答： 解：（1）f（x）＜0得解集為(-

1

3

，2)，
則a＞0，且-

1

3

，2是f（x）=0的兩根，
則-

1

3

+2=-

b

a

且-

2

3

=-

2

a

，解得，a=3，b=-5；
（2）由已知函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，
則有a＞0，且-

b

2a

≤1，
由于b=3a-2，則-

3a-2

2a

≤1，
解得，a≥

2

5

；
（3）P=

1

2

（ax₁²+bx₁-2+ax₂²+bx₂-2）
=

1

2

a（x₁²+x₂²）+

b

2

（x₁+x₂）-2，
Q=a（

x1+x2

2

）²+

b

2

（x₁+x₂）-2，
P-Q=-a（

x1+x2

2

）²+

1

2

a（x₁²+x₂²）
=a（

1

2

x₁²+

1

2

x₂²-

1

4

x₁²-

1

4

x₂²-

1

2

x₁x₂）
=

1

4

a（x₁-x₂）²≥0，
則有P≥Q．

點評：本題考查函數的單調性的運用，考查二次方程和二次不等式的關系，考查化簡和運算能力，屬于中檔題．