Question

已知曲線C：y=x³-2x+3
（Ⅰ）求曲線C在x=-1處的切線方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動，曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的范圍是[0，

π

4

]，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)在x=-1處的導(dǎo)數(shù)即斜率，在x=-1處的函數(shù)值即為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程即可；
（Ⅱ）由切線傾斜角的范圍得到斜率范圍，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得到曲線C在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，然后得到關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：（Ⅰ）令y=f（x）=x³-2x+3，
∴f（-1）=4，f′（x）=3x²-2，則f'（-1）=1，
∴切點(diǎn)為（-1，4），斜率為1，即切線方程為y-4=k（x+1）即x-y+5=0，
∴曲線C在x=-1處的切線方程為x-y+5=0；
（Ⅱ）∵傾斜角α∈[0 ， 

π

4

]
∴tanα∈[0，1]，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵tanα=f'（x₀）=3x₀²-2，
∴3x₀²-2≥0且3x₀²-2≤1，
解得x0∈[-1 ， -

6

3

]∪[

6

3

 ， 1]，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍為[-1 ， -

6

3

]∪[

6

3

 ， 1]．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是過該點(diǎn)的切線的斜率，屬于中檔題．