Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為π，且f（-x）=f（x），則（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  2

  ）單調(diào)遞增
• B、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）單調(diào)遞減
• C、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）單調(diào)遞增
• D、f（x）在（

  π

  2

  ，π）單調(diào)遞增

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)的周期和奇偶性求出函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=

2

[

2

2

sin（ωx+φ）+

2

2

cos（ωx+φ）]=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），
∵函數(shù)的最小正周期為2π，
∴T=

2π

ω

=2π，解得ω=1，
即f（x）=

2

sin（x+φ+

π

4

），
∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則φ+

π

4

=

π

2

+kπ，
即φ=

π

4

+kπ，
∵|φ|＜

π

2

，∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=

π

4

，
即f（x）=

2

sin（x+

π

4

+

π

4

）=sin（x+

π

2

）=cosx，
則f（x）在（

π

4

，

3π

4

）單調(diào)遞減，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．