Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數列{a_n}滿足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0，bn=

9

10

(n+2)(an-1)
（Ⅰ）證明：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）當n取何值時，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過代入化簡整理，利用等比數列的定義即可證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，通過作商即可比較出最大值．

解答：（Ⅰ）證明：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f（a_n）=(an-1)2，g（a_n）=10（a_n-1）．
∴（a_n+1-a_n）×10（a_n-1）+(an-1)2=0，化為（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知：對任意的n∈N^*，a_n-1≠0．
∴10a_n+1-9a_n-1=0，化為10（a_n+1-1）=9（a_n-1）．
∴

an+1-1

an-1

=

9

10

，
∴數列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項，

9

10

為公比的等比數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：an-1=1×(

9

10

)n-1，
∴bn=

9

10

(n+2)×(

9

10

)n-1=(n+2)×(

9

10

)n．
∴

bn+1

bn

=

(n+3)×( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

×(1+

1

n+2

)．
當n=7時，

b8

b7

=

9

10

×

10

9

=1，即b₈=b₇；
當n＜7時，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；
當n＞7時，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴當n=7或8時，b₈=b₇=

98

107

取得最大值．

點評：熟練掌握等比數列的定義、通過作商法比較大小是解題的關鍵．