Question

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)側(cè)面是正方形，且時(shí)，

（ⅰ）求二面角的大小；

（ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（ⅰ）（ⅱ）點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，有

【解析】

（1）取中點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，可得從而得證；

（2）（ⅰ）先證明平面以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，即可得到二面角的大小；

（ⅱ）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得. 設(shè)，則.

利用垂直關(guān)系，建立的方程，解之即可.

證明：（1）取中點(diǎn)，連，連.

在△中，因?yàn)?/span>分別是中點(diǎn)，

所以，且.

在平行四邊形中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以，且.

所以，且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面

所以平面.所以.

又因?yàn)?/span>，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)，則，

.

（ⅰ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

由得即令，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以是平面的一個(gè)法向量.

所以.

由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為.

（ⅱ）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得.

設(shè)，則.

因?yàn)?/span>

，

又，

所以.

所以.

故點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，有