Question

已知命題p：存在實數a使函數f（x）=x²-4ax+4a²+2在區間[-1，3]上的最小值等于2；命題q：存在實數a，使函數f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是關于x的減函數．若“p∧q為假”且“p∨q為真”，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得命題p和命題q中，一個為真，另一個為假． 當命題p為真時，由f（x）=（x-2m）²+2在區間[-1，3]上的最小值為2，可得即 -

1

2

≤a≤

3

2

．當命題q為真時，可得a＞1．分命題p為真、命題q為假以及命題p為假、命題q為真，兩種情況，分別求出實數a的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：由題意可得命題p和命題q中，一個為真，另一個為假．
f（x）=（x-2m）²+2在區間[-1，3]上的最小值 [f(x)]min=

f(-1)＞2    ，(2a＜-1) f(2a)=2   ，(-1≤2a≤3) f(3)＞2      ，(2a＞3)

，
于是，命題p是真命題，等價于-1≤2a≤3，即 -

1

2

≤a≤

3

2

．
由函數f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是關于x的減函數，由復合函數的單調性可得 a＞1．
當命題p為真、命題q為假時，-

1

2

≤a≤1．
當命題p為假、命題q為真時，a＞

3

2

．
綜上可得，實數a的取值范圍為[-

1

2

，1]∪（

3

2

，+∞）．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，二次函數在閉區間上的最值問題，復合命題的真假，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．