Question

在空間四邊形ABCD中，己知AB=AD，則BC=CD是AC⊥BD的（　　）

A．充分條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：先根據(jù)AB=AD以及BC=CD得到同一底邊上的中點(diǎn)合一，進(jìn)而得到線線垂直，推出線面垂直得到AC⊥BD；再根據(jù)AC⊥BD以及AE⊥BD得到BD⊥CE進(jìn)而得到其為等腰三角形即可得到BC=CD．

解答：解：過(guò)A，C作AE⊥BD，CF⊥BD

∵AB=AD，BC=CD
∴△ABD與△BCD都是等腰三角形
∴E，F(xiàn)重合（三線共點(diǎn)）且為BD的中點(diǎn)，
∴AE⊥BD，CE⊥BD
故BD⊥平面ACE⇒BD⊥AC．
反之：由BD⊥AC，AE⊥BD⇒BD⊥平面ACE⇒BD⊥CE，
又因?yàn)镋為BD的中點(diǎn)，
即中線高線合二為一．
∴△BCD為等腰三角形，
∴BC=BD．
即BC=CD是AC⊥BD的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用以及充要條件的證明，過(guò)A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，是解題的突破口．