Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

，P是AB的中點，該矩形有一內接Rt△PQR，P為直角頂點，Q、R分別落在線段BC和線段AD上，記Rt△PQR的面積為S．
（Ⅰ）設∠BPQ為α，將S表示成α的函數關系式，并求S的最大值；
（Ⅱ）設BQ=x，將S表示成x的函數關系式．并求S的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題意表示出S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

，從而求f（α）的最大值；
（Ⅱ）設BQ=x，BP=1，S=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

，利用換元法求函數的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖知，在Rt△PBQ中，PQ=

1

cosα

；在Rt△PAR中，RP=

1

sinα

．
因為∠RPQ為直角，所以S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

．
又R，Q分別在線段AD、BC上，所以

π

6

≤α≤

π

3

，∴

π

3

≤2α≤

2π

3

，∴sin2α∈[

3

2

，1]，∴當2α=

π

3

或

2π

3

時，(sin2α)min=

3

2

，∴Smax=

2 3

3

．
因此S=

1

sin2α

(

π

6

≤α≤

π

3

)，S=f（α）的最大值為

2

3

3

．…（7分）
（Ⅱ）∵BQ=x，BP=1，∴PQ=

1+x2

，
又∵△PBQ∽△RAP，∴

BQ

BP

=

AP

AR

，∴AR=

1

x

，∴PR=

1+ 1 x2

，
∴S=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

．
由于R，Q在線段AD，BC上，∴

3

3

≤x≤

3

，∴S=

1

2

x2+ 1 x2 +2

（

3

3

≤x≤

3

）．
令t=x2，則

1

3

≤t≤3，S=

1

2

t+ 1 t +2

(

1

3

≤t≤3)，
∵函數y=t+

1

t

在[

1

3

，1]單調遞減，在[1，3]單調遞增．
∴當t=1時，y達到最小值2．∴g(x)min=

1

2

2+2

=1．…（14分）

點評：本題考查了函數的解析式的求法，函數單調性的判斷與應用，同時考查了函數的最值，屬于中檔題．