Question

（2012•自貢三模）定義域在R上的函數(shù)f（x）滿足：①f（x+2）是奇函數(shù)；②當x≥2時，f′（x）≥0．又

x1•x2+4

2

＜x₁+x₂＜4，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．恒大于等于0

D．恒小于等于0

Answer 1

分析：根據(jù)題目給出的函數(shù)f（x+2）是奇函數(shù)，可知道函數(shù)f（x）的對稱中心為（0，0），再根據(jù)當x≥2時，f′（x）≥0，知除特殊情況外函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，不等式

x1•x2+4

2

＜x₁+x₂＜4可得到x₁與x₂的大體位置，且能判處離2的遠近，最后根據(jù)奇函數(shù)對稱性得到結(jié)論．

解答：解：由f（x+2）是奇函數(shù)，知函數(shù)f（x+2）的對稱中心為（0，0），所以函數(shù)f（x）的對稱中心為（2，0），且f（2）=0．
若f（x）=0，滿足：①f（x+2）是奇函數(shù)；②當x≥2時，f′（x）≥0，此時f（x₁）+f（x₂）的值等于0；
若f（x）≠0，再由當x≥2時，f′（x）≥0，知f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，因為f（2）=0，所以在（2，+∞）上有f（x）＞0，根據(jù)對稱性知，在（-∞，0）上有f（x）＜0．
由

x1•x2+4

2

＜x₁+x₂＜4，得（x₁-2）+（x₂-2）＜0，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，所以有x₁-2與 x₂-2異號，且負數(shù)的絕對值大于正數(shù)，也就是x₁，x₂在2的兩側(cè)，且左側(cè)的離2要遠，
所以f（x₁）+f（x₂）的值恒小于0．
綜上，f（x₁）+f（x₂）的值恒小于等于0．
故選D．

點評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了函數(shù)的奇偶性和平移性質(zhì)，由不等式得到（x₁-2）+（x₂-2）＜0，且（x₁-2）（x₂-2）＜0則體現(xiàn)了學(xué)生的靈活思維能力．