Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．

(1)證明：PA∥平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

(1)見解析(2)

(1)連接AC交BD于點O，連接OE；在△CPA中，E，O分別是邊CP，CA的中點，∴OE∥PA，而OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)如圖建立空間直角坐標系，設PD＝DC＝2.

則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，
B(2,2,0),＝(0,1,1)，＝(2,2,0)．，
設n＝(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，則由得
取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又＝(2,0,0)是平面DEC的一個法向量．
∴cos〈n，〉＝＝.
故結合圖形知二面角B-DE-C的余弦值為