Question

【坐標系與參數方程選做題】直線

x=1+2t y=1-t

與曲線ρ=2cosθ相交，截得的弦長為

2 5

5

．

Answer 1

分析：將極坐標方程轉化為直角坐標方程，將直線的參數方程轉化為一般方程，利用直線與圓的位置關系，構造直角三角形運用勾股定理，即可求解．

解答：解：∵曲線的極坐標方程ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，
則化成直角坐標方程為x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，
∴（x-1）²+y²=1表示圓心為（1，0），半徑r=1的圓，
∵直線為

x=1+2t y=1-t

，則直線的一般方程為x+2y-3=0，
∴圓心（1，0）到直線x+2y-3=0的距離d=

|1+2×0-3|

12+22

=

2 5

5

，
設弦長為l，則根據勾股定理可得，d²+（

1

2

l）²=r²，
故（

2 5

5

）²+（

1

2

l）²=1，解得l=

2 5

5

，
∴截得的弦長為

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點評：本題考查了極坐標方程和直角坐標方程的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．考查了直線與圓的位置關系，求直線被圓所截得的弦長問題，要注意運用弦長的一半，半徑，弦心距構成的直角三角形求解．屬于基礎題．