Question

已知x＞

1

2

，函數f（x）=x²，h（x）=2e lnx（e為自然常數）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，則稱函數h（x）的圖象為函數f（x），g（x）的“邊界”．已知函數g（x）=-4x²+px+q（p，q∈R），試判斷“函數f（x），g（x）以函數h（x）的圖象為邊界”和“函數f（x），g（x）的圖象有且僅有一個公共點”這兩個條件能否同時成立？若能同時成立，請求出實數p、q的值；若不能同時成立，請說明理由．

Answer 1

（I）證明：記u（x）=f（x）-h（x）=x²-2elnx，
則u′(x)=2x-

2e

x

，
令u'（x）＞0，注意到x＞

1

2

，可得x＞

e

，
所以函數u（x）在(

1

2

，

e

)上單調遞減，在(

e

，+∞)上單調遞增．u(x)min=u(

e

)=f(

e

)-h(

e

)=e-e=0，即u（x）≥0，
∴f（x）≥h（x）．　
（II）由（I）知，f（x）≥h（x）對x＞

1

2

恒成立，當且僅當x=

e

時等號成立，
記v（x）=h（x）-g（x）=2elnx+4x²-px-q，則
“v（x）≥0恒成立”與“函數f（x），g（x）的圖象有且僅有一個公共點”同時成立，
即v（x）≥0對x＞

1

2

恒成立，當且僅當x=

e

時等號成立，
所以函數v（x）在x=

e

時取極小值，
注意到v′(x)=

2e

x

+8x-p=

8x2-px+2e

x

，
由v′(

e

)=0，解得p=10

e

，
此時v′(x)=

8(x- e )(x- e 2 )

x

，
由x＞

1

2

知，函數v（x）在(

1

2

，

e

)上單調遞減，在(

e

，+∞)上單調遞增，
即v(x)min=v(

e

)=h(

e

)-g(

e

)=-5e-q=0，q=-5e，
綜上，兩個條件能同時成立，此時p=10

e

，q=-5e．