Question

已知數列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1- a 2 n

．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）猜想數列{b_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得b_n+1=

1

2-bn

，結合a₁=

1

4

，a_n+b_n=1即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由（1）可猜想b_n=

n+2

n+3

，用數學歸納法證明即可．可分二步走，①當n=1時，易證命題成立；②假設當n=k（k≥1）時，命題成立，去推證當n=k+1時，命題也成立即可．

解答：解：（1）b_n+1=

bn

1- a 2 n

=

bn

(1-an)(1+an)

=

bn

bn(2-bn)

=

1

2-bn

，
∵a₁=

1

4

，b₁=

3

4

，
∴b₂=

4

5

，b₃=

5

6

，b₄=

6

7

，…4分
（2）猜想b_n=

n+2

n+3

，下面用數學歸納法證明…5分
①當n=1時，b₁=

3

4

=

1+2

1+3

，命題成立，…6分
②假設當n=k（k≥1）時，命題成立，即b_k=

k+2

k+3

；
那么當n=k+1時，b_k+1=

1

2-bk

=

1

2- k+2 k+3

=

k+3

k+4

=

(k+1)+2

(k+1)+3

；
∴當n=k+1時命題也成立；
由①②知，對任意正整數命題都成立…8分

點評：本題考查數學歸納法，猜得b_n=

n+2

n+3

是關鍵，考查數列遞推式，考查猜想與推理證明的能力，屬于中檔題．