Question

【題目】若函數f（x）=1+ +sinx在區間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：記g（x）= +sinx﹣1， ∴g（﹣x）=
= ，
∴g（﹣x）+g（x）= +sinx﹣1+ =0，
∴g（﹣x）=﹣g（x）．
∴函數g（x）在奇函數，
∴函數g（x）的圖象關于原點對稱，
∴函數g（x）在區間[﹣k，k]（k＞0）上的最大值記為a，（a＞0），
則g（x）在區間[﹣k，k]（k＞0）上的最小值為﹣a，
∴﹣a≤ +sinx﹣1≤a，
∴﹣a+2≤ +sinx+1≤a+2，
∴﹣a+2≤f（x）≤a+2，
∵函數f（x）=1+ +sinx在區間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
∴m=﹣a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故選D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零，以及對函數的值域的理解，了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．