Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點．
（Ⅰ）求直線BE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一點F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（I）先取AA₁的中點M，連接EM，BM，根據中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB₁A₁，則EM⊥面ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB₁A₁所成的角，設正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在RT△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（II）在棱C₁D₁上存在點F，使B₁F平面A₁BE，分別取C₁D₁和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD₁，FG，因A₁D₁，B₁C₁，BC，且A₁D₁=BC，所以四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，根據中位線定理可知EG∥A₁B，從而說明A₁，B，G，E共面，則BG?面A₁BE，根據FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，從而得到四邊形B₁BGF為平行四邊形，則B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，根據線面平行的判定定理可知B₁F∥平面A₁BE．
解答：解：（I）如圖（a），取AA₁的中點M，連接EM，BM，因為E是DD₁的中點，四邊形ADD₁A₁為正方形，所以EM∥AD．
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直線BE與平面ABB₁A₁所成的角．
設正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=，
于是在RT△BEM中，
即直線BE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為．

（II）在棱C₁D₁上存在點F，使B₁F平面A₁BE，
事實上，如圖（b）所示，分別取C₁D₁和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD₁，FG，
因A₁D₁，B₁C₁，BC，且A₁D₁=BC，所以四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，
因此因此D₁C∥A₁B，又E，G分別為D₁D，CD的中點，所以EG∥D₁C，從而EG∥A₁B，這說明A₁，B，G，E共面，所以BG?A₁BE
因四邊形C₁CDD₁與B₁BCC₁皆為正方形，F，G分別為C₁D₁和CD的中點，所以FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，因此四邊形B₁BGF為平行四邊形，所以B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．

點評：本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考查考生探究能力、空間想象能力．