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四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形,PB⊥面ABCD.
(1)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個四棱錐的體積;
(2)證明無論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析
(1)正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角,
∠PAB=60°.                
而PB是四棱錐P—ABCD的高,PB=AB·tg60°=a,
.                                                                                       
(2)不論棱錐的高怎樣變化,棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形.
作AE⊥DP,垂足為E,連結EC,則△ADE≌△CDE,
是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設AC與DB相交于點O,連結EO,則EO⊥AC,
                                                                     

故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

在三棱錐中,,.
(1)  求三棱錐的體積;
(2)  證明:;
(3)  求異面直線SB和AC所成角的余弦值。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1
底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1F為棱BB1的中點,
M為線段AC1的中點.  (1)求證:直線MF∥平面ABCD
(2)求證:平面AFC1⊥平面ACC1A1
(3)求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知四棱錐(如圖)底面是邊長為2的正方形.側棱底面分別為的中點,
(Ⅰ)求證:平面⊥平面
(Ⅱ)直線與平面所成角的正弦值為,求PA的長;
(Ⅲ)在條件(Ⅱ)下,求二面角的余弦值。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在五面體,ABCDF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,面ABF是等邊三角形,棱EF=
(1)證明EO∥平面ABF;
(2)問為何值時,有OF⊥ABE,試證明你的結論.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是矩形,已知
(1)證明:平面
(2)求異面直線PC與AD所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分別為AD和CC1的中點,O1為下底面正方形的中心。
(Ⅰ)證明:AF⊥平面FD1B1
(Ⅱ)求異面直線EB與O1F所成角的余弦值;               

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖3所示,在直三棱柱中,

(Ⅰ)證明:平面
(Ⅱ)若是棱的中點,在棱上是否存在一點,使平面?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是,這個長方體對角線的長是(  )
                      

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