Question

【題目】已知拋物線： （）的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）長為，橢圓： （）的離心率為，且過拋物線的焦點.

（1）求拋物線和橢圓的方程；

（2）過定點引直線交拋物線于、兩點（在的左側），分別過、作拋物線的切線， ，且與橢圓相交于、兩點，記此時兩切線， 的交點為.

①求點的軌跡方程；

②設點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) (2)①②有最大值為點坐標為

【解析】試題分析：1）由拋物線C2：x2=2py（p＞0）的通徑長為4，得p=2，由此能求出拋物線C2的方程．由題意C2焦點坐標為（0，1），，由此能求出橢圓C1的方程．

（2）①設， ，由點、、三點共線得，設切線的方程為，與拋物線方程聯立消去，得

，可得，即，同理可得，切線的方程為聯立兩方程解得，點坐標為)，由此能求出點C的軌跡方程．

②設l1與橢圓方程聯立，得： ，由此利用韋達定理和根的判別式結合已和條件能求出△DPQ的面積的最大值和此時點C的坐標．

試題解析：

（1）∵拋物線的通徑長為

∴，得

∴拋物線的方程為

∵拋物線的焦點在橢圓上

∴，得

∵橢圓的離心率為

∴

∴橢圓的方程為

（2）設，

其中， ，

∵點、、三點共線

∴

∴（*）

設切線的方程為，與拋物線方程聯立消去，得

，由，可得

即

同理可得，切線的方程為

聯立兩方程解得，點坐標為

①設點，則，

代入（*）式得，點的軌跡方程為：

②由切線和橢圓方程，消去得：

，

∴，

∴

，

∵點到切線的距離為

∴的面積為

∴當， 時， 有最大值為

此時，由（*）可得

∴點坐標為