Question

點P到點A(

1

2

， 0)，  B(a， 2)及到直線x=-

1

2

的距離都相等，如果這樣的點恰好只有一個，那么a的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

  或

  3

  2

• D、-

  1

  2

  或

  1

  2

Answer 1

分析：到A和到直線x=-

1

2

的距離相等，則P點軌跡是拋物線方程，再注意B點，用上P到x=-

1

2

的距離和點P到B的距離相等：再注意這樣的點恰好只有一個，因而有△=0，從而可求a的值．

解答：解：法一 由題意有點P在拋物線y²=2x上，設P（

y2

2

，y），則有（

y2

2

+

1

2

）²=（

y2

2

-a）²+（y-2）²，化簡得（

1

2

-a）y²-4y+a²+

15

4

=0，當a=

1

2

時，符合題意；
當a≠

1

2

時，△=0，有a³-

a2

2

+

15a

4

+

17

8

=0，（a+

1

2

）（a²-a+

17

4

）=0，a=-

1

2

．故選D．
法二 由題意有點P在拋物線y²=2x上，B在直線y=2上，當a=-

1

2

時，B為直線y=2與準線的交點，符合題意；當a=

1

2

時，B為直線y=2與拋物線通徑的交點，也符合題意，故選D．
故選D．

點評：本題主要考查拋物線的概念、性質，以及數形結合的思想．法一代數法，法二是幾何法．