Question

已知函數f(x)=ax-2lnx，f(1)=0.

(1)若函數f(x)在其定義域內為單調函數，求實數a的取值范圍；

(2)若函數f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′()-na_n+1.

①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2；

②若a₁=4，試比較與的大小，并說明你的理由.

Answer 1

解：(1)∵f(1)=a-b=0,∴a=b.

∴f′(x)=a+.要使函數f(x)在其定義域內為單調函數，則在(0,+∞)內f′(x)=a+= 恒大于零，或恒小于零.

1°  當a＞0時，則有f′(x)=a()²+a＞0恒成立，即a＞0，即a＞1；

2°  當a＜0時，

令t=，則f′(x)=g(t)=a(t)²+a的對稱軸為t=＜0.

∴f′(x)=g(t)在(0,+∞)內遞減，

∴f′(x)＜g(0)=a＜0恒成立；

所以當a＜0時,有f′(x)=a()²+a＜0恒成立.

3°  當a=0時，f′(x)=在(0,＋∞)上恒有f′(x)＜0.

綜合1°、2°、3°可知所求的實數a的取值范圍為a＞1或a≤0.                      

(2)∵函數f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，∴f′(1)=0，即a+a-2=0，解得a=1.

∴f′(x)=(-1)²，

∴a_n+1=f′()-na_n+1=a_n²-na_n+1.

①用數學歸納法證明：(i)當n=1時，a₁≥3=1+2，不等式成立；(ii)假設當n=k時不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，

∴a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2＞k+3，這就是說，當n=k+1時，a_k+1≥(k+1)+2.根據(i)和(ii)，對于所有n≥1，有a_n≥n+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①，對k≥2，有a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1，

∴a_k+1≥2(a_k-1+1)≥2²(a_k-2+1)≥2³(a_k-3+1)≥…≥2^k-1(a₁+1).

而，于是當k≥2時，，

∴

=.