Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=3，S_n和S_n+1滿足等式Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
（Ⅰ）求S₂的值；
（Ⅱ）求證：數列{

Sn

n

}是等差數列；
（Ⅲ）若數列{b_n}滿足bn=an•2an，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅳ）設Cn=

Tn

22n+3

，求證：C1+C2+…+Cn＞

20

27

．

Answer 1

分析：（I）由已知中Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，令n=1可得S₂的值；
（Ⅱ）由已知中Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，兩邊同除n+1后整理得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，即{

Sn

n

}是等差數列；
（Ⅲ）由（II）由出S_n的解析式，進而求出數列{a_n}的通項公式，進而利用錯位相減法，求出數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅳ）由（III）由出數列{c_n}的通項公式，利用分組分解法（拆項法）求出它的前n項和，進而可證得結論．

解答：解：（I）∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
當n=1時，S₂=2S₁+2=2a₁+2=8
故S₂=8
證明：（II）∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1
∴

Sn+1

n+1

=

Sn

n

+1，即

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
又由

S1

1

=a₁=3，
故{

Sn

n

}是以3為首項，以1為公差的等差數列
（III）由（II）可知，

Sn

n

=n+2
∴Sn=n2+2n(n∈N*)
∴當n=1時，a₁=3
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
經檢驗，當n=1時也成立
∴a_n=2n+1（n∈N*）

bn=an•2an ∴bn=(2n+1)•22n+1， Tn=b1+b2+…+bn-1+bn ∴Tn=3•23+5•25+…+(2n-1)•22n-1+(2n+1)•22n+1

∴4Tn=3•25+…+(2n-3)•22n-1+(2n-1)•22n+1+(2n+1)•22n+3
解得：Tn=(

2

3

n+

1

9

)•22n+3-

8

9

．
（Ⅳ）∵Cn=

Tn

22n+3

=

2n

3

+

1

9

-

1

9

•(

1

4

)n
∴C1+C2+…+Cn=

2

3

•

n(n+1)

2

+

1

9

•n-

1

9

•

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3n2+4n

9

-

1

27

+

1

27

•(

1

4

)n＞

3n2+4n

9

-

1

27

≥

7

9

-

1

27

=

20

27

．

點評：本題考查的知識點是數列與不等式的綜合，數列求和，數列的遞推公式，熟練掌握數列求和的方法及等差數列，等比數列的證明方法是解答的關鍵．