Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在PB上找一點M，使截面AMC把幾何體分成兩部分，且；
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD．

Answer 1

解：（1）證明：依題意知CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAD
又DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．（4分）
（2）解：∵，（6分）
設P、M到底面ABCD的距離分別為h、h_M，
則
∴，
∴M為PB中點．（8分）
（3）∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD（10分）
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，
∴平面ABM∥平面PCD
這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾
∴AM與平面PCD不平行（12分）
分析：（1）先由平面PAD⊥平面ABCD?DC⊥平面PAD?平面PAD⊥平面PCD即可．
（2）因為S△ABC=S_ABCD且；所以對應高之比為，所以可得M為PB中點．
（3）用反證法證之；若AM∥平面PCD?平面ABM∥平面PCD?與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾．即可．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直