Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M是側(cè)棱PB中點，截面AMC把幾何體分成的兩部分，求這兩部分的體積之比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意通過計算，以及平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理，證明CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）設(shè)N是AB的中點，連接MN，依題意，證明PA⊥面ABCD，MN⊥面ABCD，計算VMABC=

1

3

MN•S△ABC與VPABCD=

1

3

PA•SABCD，得到V_PADCM=V_PADCB-V_MACB，求出V_PADCM：V_MACB=兩部分體積比．

解答：證明：（Ⅰ）依題意知PA=1，PD=

2

∴AD⊥AB，
又CD∥AB∴CD⊥AD（3分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
由面面垂直的性質(zhì)定理知，CD⊥平面PAD（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)N是AB的中點，連接MN，依題意，PA⊥AD，PA⊥AB，
所以，PA⊥面ABCD，因為MN∥PA，
所以MN⊥面ABCD．（8分）VMABC=

1

3

MN•S△ABC=

1

3

•

1

2

•

1

2

•

2

•

2

=

1

6

（10分）VPABCD=

1

3

PA•SABCD=

1

3

PA•

CD+AB

2

AD=

1

3

•1•

1+2

2

•1=

1

2

（11分）
所以，VPADCM=VPADCB-VMACB=

1

2

-

1

6

=

1

3

（12分）
V_PADCM：V_MACB=兩部分體積比為2：1（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．