Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有＞0．給出下列命題：
①f（2）=0且T=4是函數(shù)f（x）的一個周期；
②直線x=4是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上是增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-6，6]上有四個零點．
其中正確命題的序號為（ ）
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，依次分析所給的命題：對于①，用特殊值法，將x=-2代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，中，變形可得f（-2）=0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（2）=f（-2）=0，進而將f（2）=0代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，可得f（x+4）=f（x），符合函數(shù)周期性的定義，綜合可得①正確；對于②，結(jié)合①的結(jié)論可得f（x）是以4為周期的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，分析可得直線x=4也是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸，可得②正確；對于③，由題意可得f（x）在[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，可得f（x）在[-2，0]上為減函數(shù)，又由f（x）的周期性，分析函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-6，-4]的單調(diào)性可得③錯誤；對于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，又由f（x）是以4為周期的函數(shù)，則f（-6）=f（6）=0，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-6，6]上有四個零點，④正確；綜合可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，依次分析命題，
對于①，在f（x+4）=f（x）+f（2）中，令x=-2可得，f（2）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，則f（2）=f（-2）=0，
而f（x+4）=f（x）+f（2），則有f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4為周期的函數(shù)，
則①正確；
對于②，由①可得f（x）是以4為周期的函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，即f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，
則直線x=4也是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸，②正確；
對于③，由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]，都有＞0，可得f（x）在[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，則f（x）在[-2，0]上為減函數(shù)，
又由f（x）是以4為周期的函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為減函數(shù)，③錯誤；
對于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，
又由f（x）是以4為周期的函數(shù)，則f（-6）=f（-2）=0，f（4）=f（2）=0，
即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-6，6]上有四個零點，④正確；
正確的命題為①②④；
故選D．
點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷與應(yīng)用；關(guān)鍵是根據(jù)題意，運用特殊值法，分析得到f（x）的周期性、單調(diào)性以及f（2）的值．