Question

已知曲線f(x)=x²+1和g(x)=x³+x在其交點處兩切線的夾角為θ,求cosθ.

Answer 1

思路分析:要求cosθ的值,需求兩切點及兩曲線的交點,利用向量的數量積求解.

解:由得x³-x²+x-1=0,即(x-1)(x²+1)=0,得x=1.

所以交點為P(1,2).

因為f′(1)==2,

所以其切線方程為l₁:y-2=2(x-1),即y=2x.

因為g′(1)==4,

所以其切線方程為l₂:

y-2=4(x-1),即y=4x-2.

取切線l₁的方向向量為a=(1,2),切線l₂的方向向量為b=(1,4),

則cosθ=.