Question

(1)己知z＝x＋yi(x，y∈R)滿足|z－4i|－|z＋2|＝0，求的最小值．

(2)設復數z滿足2|z－3－3i|－|z|＝0，試求|z|的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)由已知條件得，即x＋2y＝3，∴，即得的最小值為． 　　(2)解法1:設z＝x＋yi(x，y∈R)，得2|x＋yi－3－3i|－|x＋yi|＝0，＝0，化簡得－8(x＋y)＋24＝0．∵x＋y≤，故得＋24≤0，即＋24≤0．解得 　　解法2:設z＝r(cosθ＋isinθ)，代入已知條件并化簡得＝0，化簡得－8r(cosθ＋sinθ)＋24＝0，＋24＝0．∴≤1，∴ 　　解法3:將解法1中的方程－8(x＋y)＋24＝0，化為．可知它表示以點(4，4)為圓心，為半徑的圓，∴|z|的最大值和最小值分別是圓上的點到坐標原點距離的最大值和最小值．∴ 　　解法4:由已知得|z－(3＋3i)|＝，用三角不等式可解得

提示：

注 本題的四種解法從不同的側面反映了求復數模的極值的常用方法：不等式法、三角法、幾何法、公式法，它們的共同之處是把復數問題化歸為實數問題來解．