Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間;

（2）是否存在實數，使得函數的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）結合的定義域，以及導數的零點的情況，確定分類討論的標準為，從而求出對應的單調區間.

（2）由（1）可知，只有當時，在定義域內有一個零點，即為的極大值點.要使得極大值，等價轉化為使得，再結合導函數的性質，即可得求得的范圍.

（1）函數的定義域為.

①當時，，∵ ∴

∴ 函數單調遞增區間為.

② 當時，令得， .

（ⅰ）當，即時， ，

∴ 函數的單調遞增區間為.

（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為

，.

若，則，此時，當時，.

∴函數的單調遞增區間為，

若，則，

此時，當時，,單調遞增

當時， 單調遞減

綜上，當時，函數的單調遞增區間為單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為.

（2）解：由(1)得當時，函數在上單調遞增，

故函數無極值；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為

；

則有極大值，其值為， 其中.

而，∴

設函數，則，

則在上為增函數.

又，故等價于.

因而 等價于.

即在時，方程的大根大于1，

設，由于的圖象是開口向下的拋物線，且經過點(0,1)，對稱軸，則只需，即

解得，而，

故實數的取值范圍為.