Question

已知函數f（x）=

2

sinωx•cos（ωx+

π

4

）+2sin²ωx+

1

2

，直線y=1-

2

2

與f（x）的圖象交點之間的最短距離為π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其圖象的對稱中心；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若∠A是銳角，且f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，c=4，a+b=4

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可得f（x）=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1，于是易得其對稱中心；
（Ⅱ）依題意，易得A=

π

4

，再利用余弦定理，得a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b，可求得b，由S_△ABC=

1

2

bcsinA可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1…3分
由題可知，T=π，2ω=

2π

T

⇒ω=1，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+1…5分
對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，1），k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，

2

2

sinA=

1

2

，
∴sinA=

2

2

，又A∈（0，

π

2

），A=

π

4

…9分
∵c=4，a+b=4

2

，由余弦定理得，a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b⇒b=2

2

…11分
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2

2

×

2

2

=4…13分

點評：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數的周期性、對稱性，考查余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．