Question

過點Q 作圓O：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點為D，且QD=4．
（1）求r的值；
（2）設P是圓O上位于第一象限內的任意一點，過點P作圓C的切線l，且l交x軸于點A，交y軸于點B，設，求的最小值（O為坐標原點）．
（3）從圓O外一點M（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點為T，N（2，3），且有|MT|=|MN|，求|MT|的最小值，并求此時點M的坐標．

Answer 1

解：（1）圓C：x²+y²=r²（r＞0）的圓心為O（0，0），則
∵過點Q（-2，） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點為D，且QD=4
∴r=OD===3；
（2）設直線l的方程為=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，則A（a，0），B（0，b），
∵，∴=（a，b），∴||=
∵直線l與圓C相切，∴=3
∴3=ab≤
∴a²+b²≥36
∴||≥6
當且僅當a=b=3時，||的最小值為6．
（3）∵切線MN⊥OT，∴|MT|²=|MO|²-9，又|MN|=|MT|，∴|MN|²=|MO|²-9，
M（x₁，y₁），過N（2，3）的直線的斜率為k，所以NT的方程為：y-3=k（x-2），
與圓的方程x²+y²=9聯立，，消去y可得：（k²+1）x²+2（3-2k）kx+4k²-12k=0，
因為直線與圓相切，所以△=0，即[2（3-2k）k]²-4（k²+1）（4k²-12k）=0，
化簡得：5k²+12k=0，解得k=0或k=-，
當k=0時，x=0，此時T（0，3），當k=時，x=，此時T（，）
∴滿足條件的M點坐標為（1，3）或（，）
分析：（1）利用圓的切線的性質，結合勾股定理，可求r的值；
（2）設出直線方程，利用，表示出，求出模長，利用基本不等式即可求得結論．
（3）由題意畫出過N作圓的切線，NT的中點就是所求M，求出切點坐標即可取得M點的坐標．
點評：本題考查圓的切線的性質，考查向量知識的運用，兩直線垂直的性質，點到直線的距離公式應用，以及求兩直線的交點坐標的方法．