Question

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．
（I）求證：向量與向量不可能平行；
（II）若•=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

Answer 1

解：（I）假設∥，則2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
1+cosxsinx+cos²x=0，即1+sin2x+=0，
∴sin（2x+）=-3，解得sin（2x+）=-＜-1，故不存在這種角滿足條件，
故假設不成立，即與不可能平行．
（II）由題意得，•=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin（2x+）=1，
∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即＜，
∴=-或，解得x=或，
故x的值為：．
分析：（I）先假設兩個向量平行，利用平行向量的坐標表示，列出方程并用倍角和兩角和正弦公式進行化簡，求出一個角的正弦值，根據正弦值的范圍推出矛盾，即證出假設不成立；
（II）利用向量數量積的坐標表示列出式子，并用倍角和兩角和正弦公式進行化簡，由條件和已知角的范圍進行求值．
點評：本題考查了向量共線和數量積的坐標運算，主要利用了三角恒等變換的公式進行化簡，對于存在性的題目一般是先假設成立，根據題意列出式子，再通過運算后推出矛盾，是向量和三角函數相結合的題目．