Question

已知棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別是BC，A₁D₁的中點．
（1）求證：四邊形B₁EDF是菱形；
（2）求AD與面B₁EDF所成的角．

Answer 1

分析：（1）要證四邊形B₁EDF為菱形，只要先證其是平行四邊形，再說明鄰邊相等即可，根據正方體的性質易證；
（2）證明直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直線AD與平面B₁EDF所成的角；

解答：證明：（1）取AD中點H，連接BH，FH，
易證：FHBB₁為矩形，
因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．
又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，
∴FB₁∥DE，FB₁=DE，
∴FB₁ED為平行四邊形．
又∵FD=DE=

5

2

a，
∴四邊形B₁EDF為菱形．
解：（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B₁EDF內的射影在∠EDF的平分線上，而四邊形B₁EDF是菱形
∴DB₁為∠EDF的平分線
∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁．
在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=

2

a，B₁D=

3

a，
∴cos∠ADB₁=

a2+3a2-2a2

2×a× 3 a

=

3

3

∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為arccos

3

3

；

點評：此題是個中檔題．考查的知識點是直線與平面所成的角，其中求出直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁是解答的關鍵．