Question

已知棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是棱CD，AD的中點．
（1）求證：四邊形MNA₁C₁是梯形；
（2）求證：∠DNM=∠D₁A₁C₁．

Answer 1

分析：（1）欲證四邊形MN A₁C₁是梯形，只須證其一組對邊平行且不等即可，連接AC，在△ACD中，M，N分別是棱CD，AD的中點，根據(jù)三角形的中位線定理即可證得；
（2）根據(jù)平行公理可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，從而有∠DNM與∠D₁A₁C₁相等或互補(bǔ)，而∠DNM與∠D₁A₁C₁均是直角三角形的銳角，故可證出∠DNM=∠D₁A₁C₁

解答：證明：（1）連接AC，在△ACD中，
∵M(jìn)，N分別是棱CD，AD的中點，
∴MN是三角形的中位線，
∴MN∥AC，MN=

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2

AC．由正方體的性質(zhì)得：AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁．
∴MN∥A₁C₁，且MN=

1

2

 A₁C₁，即MN≠A₁C₁，
∴四邊形MN A₁C₁是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，
∴∠DNM與∠D₁A₁C₁相等或互補(bǔ)，而∠DNM與∠D₁A₁C₁均是直角三角形的銳角，
∴∠DNM=∠D₁A₁C₁

點評：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎(chǔ)題．