Question

設f（x）可導，且f′（0）=0，又

lim

x→0

f′(x)

x

=-1，則f（0）為（　　）

A．可能不是f（x）的極值

B．一定是f（x）的極值

C．一定是f（x）的極小值

D．等于0

Answer 1

分析：由

lim

x→0

f′(x)

x

=-1得到f^′′（x）=-1，由此推得f′（x）的解析式，可知x=0為f（x）的極值點．

解答：解：∵f′（0）=0，

lim

x→0

f′(x)

x

=-1，
∴

lim

x→0

f′(x)

x

=

lim

x→0

f′(x)-f′(0)

x-0

=-1，
∴f^′′（x）=-1．
由此可知f^′′（x）=axⁿ-1，
f′(x)=

a

n+1

xn+1-x=x(

a

n+1

xn-1)．
則f（0）一定是f（x）的極值．
故選：B．

點評：本題考查了極限及其運算，考查了導數的概念，訓練了基本初等函數的導數公式，是基礎題．