Question

6．函數f（x）=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函數f（x）在區間$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）利用正弦函數的單調性求得函數f（x）在區間$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調增區間．

解答 解：（1）由題圖可得A=1，$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
所以T=π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
當$x=\frac{π}{6}$時，f（x）=1，可得$sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）=1$，∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
所以f（x）的解析式為$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，求得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，
又因為$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以單調增區間為$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數的單調性，屬于基礎題．