Question

已知雙曲線的離心率e=2，且B₁、B₂分別是雙曲線虛軸的上、下端點．
（Ⅰ）若雙曲線過點Q（2，），求雙曲線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若A、B是雙曲線上不同的兩點，且，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據雙曲線的離心率，求得a和c的關系，進而求得a和b的關系，把點Q代入橢圓方程求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據判斷出A、B₂、B三點共線．根據判斷出，進而設直線AB的方程和B₁B的方程聯立求得B的坐標，代入雙曲線方程求得k，則直線AB的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線方程為
∴c=2a，b²=c²-a²=3a²，
∴雙曲線方程為，又曲線C過點Q（2，），
∴
∴雙曲線方程為
（Ⅱ）∵，
∴A、B₂、B三點共線．
∵，∴
（1）當直線AB垂直x軸時，不合題意．
（2）當直線AB不垂直x軸時，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可設直線AB的方程為y=kx-3，①
∴直線B₁B的方程為②
由①，②知，代入雙曲線方程得
，得k⁴-6k²+1=0，
解得，
故直線AB的方程為
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．