Question

設直線m與平面α相交但不垂直，則下列所有正確的命題序號是    ．
①在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直；
②與直線m平行的直線不可能與平面α垂直；
③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行；
④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直．

Answer 1

【答案】分析：作出直線m在平面α內(nèi)的射影，可以證出在α內(nèi)與這個射影垂直的直線必定與斜線m垂直．由此圖形出發(fā)，結(jié)合空間對四個命題逐個加以判斷，則不難得到正確選項．
解答：解：對于①，設m與平面α相交于點A，在m上取一點P，作PO⊥α于A點
在α內(nèi)作直線l與AO垂直，則
∵PO⊥α，l⊆α，∴l(xiāng)⊥PO
∵l⊥AO，PO∩AO=O，∴l(xiāng)⊥平面PAO
∵m⊆平面PAO，∴l(xiāng)⊥m
因為在平面α內(nèi)與直線l平行的直線，都與m垂直，所以平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線m垂直，故①不正確；
對于②，因為兩條平行線中有一條與已知平面垂直，則另一條也與已知平面垂直，故與平面α的斜線m平行的直線也是平面α的斜線，故②正確；
對于③，將圖中的直線l平移到平面α外的直線n，則直線n與m垂直且與平面α平行，故③不正確；
對于④，如圖的平面PAO就是與平面α的一個垂直平面，若一個平面β與平面PAO平行，則β與直線m平行且與平面α垂直，
故④不正確．
故答案為：②
點評：本題以命題真假的判斷為載體，對空間直線與平面的位置關系加以判斷，考查了線面平行、線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎題．