Question

4．已知函數f（x）=（x²+ax+b）（e^x-e），a，b∈R，當x＞0時，f（x）≥0，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． -2≤a≤0
• B． -1≤a≤0
• C． a≥-1
• D． 0≤a≤1

Answer 1

分析 設g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，根據當x＞0時f（x）≥0，判斷兩個函數的符號關系得到g（x）必需過點（1，0）點，建立a，b的關系，根據圖象和一元二次函數根的關系，列出不等式求解即可．

解答 解：設g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數，且h（1）=0，
若當x＞0時f（x）≥0，則滿足當x＞1時，g（x）≥0，
當0＜x＜1時，g（x）≤0，
即g（x）必需過點（1，0）點，
則g（1）=1+a+b=0，即b=-1-a，
此時函數g（x）與h（x）滿足如圖所示：
此時g（x）=x²+ax-1-a=（x-1）[x+（a+1）]，
則滿足函數g（x）的另外一個零點-a-1≤0，
即a≥-1，
故選：C．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構造函數轉化為兩個函數的符號相反，利用數形結合是解決本題的關鍵．